Episode 3 : les nombres rationnels, Qu’est-ce qu’un nombre ? Je vous passe les détails des calculs, les composantes du vecteur dans ce nouveau repère sont v^{}_1=1 et v^{}_2\approx 1.37. Puisque les composantes dépendent de bases différentes (non représentées ici), les rectangles ne sont pas aux bonnes proportions… Nos composantes covariantes seront alors (50, 50). This article is a reminder that the research areas of graphical models and tensor networks can benefit from interaction. Nous venons de décrire des composantes contravariantes et covariantes dans un espace à une dimension ! C’est le type de toute matrice “classique”. a. of a vector . Tensor fields can be combined, to give other fields. Toutefois, les notions de composantes covariantes et contravariantes sont plus difficiles à cerner en dimensions supérieures… Voyons donc une explication différente, qui sera d’ailleurs plus proche des définitions formelles : la covariance et la contravariance des composantes sont liées à leurs comportements lors d’un changement de base. Tout d’abord, une longueur multipliée par un nombre de briques nous donne une longueur, c’est-à-dire [1]\times [L]=[L]. endobj Sinon laissez votre adresse mail, que je puisse vous répondre... Si vous avez trouvé l'article trop vague et approximatif, n'hésitez pas à voir la version plus détaillée ! Et bien nous avons une nouvelle formule pour calculer la longueur du vecteur : On trouve 0.42 \times 1 + 1.15\times 1.37=1.99\approx 2 et on retrouve bien une longueur de \sqrt2. Tensor decomposition 11 §1.4. σij(x,t)n. j(x) = σij(x,t)n. j(x) (1) represents the traction that the medium at one side of the surface defined by the normal n. i. étrange. A very important tensor in differential geometry is called Metric Tensor.We denote it by G=g ij Given an element v=v i of V, then v is a (1,0)tensor. Donc lorsque l’on change de repère, c’est ce tenseur qui se charge de définir la correspondance entre les composantes contravariantes et les composantes covariantes. Une brique forme notre base. Selon la taille des briques, la taille de la maison varie dans la même proportion pour un nombre de briques fixé (plus les briques sont grandes, plus la maison est grande), d’où le terme covariant. %PDF-1.5 Voyons ces deux interprétations sur un couple de nombres (espace à deux dimensions) : \star\quad Si nous considérons notre couple comme un vecteur, nous fixons deux longueurs dans deux unités déterminées. These notes stem from my own need to refresh my memory on the fundamentals of tensor calculus, having seriously considered them last some 25 years ago in grad school. Ici le tenseur métrique à pour matrice g^{}_{ij}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix} et bien sûr celui-ci est toujours inversible (à vos calculs !). C’est la “longueur inverse” de nos “briques image”. Jusque là tout va bien, nous avons tous appris cela à l’école primaire…. Si l’on souhaite construire un mur de 200cm, il nous en faudra 10, c’est notre composante contravariante, en nombre de briques. – un covecteur en un autre covecteur (c’est la transposée d’une application linéaire, les colonnes seront de dimension [1]), Pourquoi ce sont les lignes qui sont munies d’une dimension et parfois les colonnes ? PS. ;-). Il existe deux types de tenseurs d’ordre un : v^i ou v^{}_i suivant que l’on considère leurs composantes contravariantes ou covariantes (respectivement). Metric tensor example Metric Tensor. – en revanche il est “interdit” de mélanger des nombres de briques et des longueurs dans les composantes d’un même tenseur d’ordre un. A), is defined by . On va construire des matrices en multipliant chaque composante de l’un par les deux composantes de l’autre. On mesure la longueur de notre mur en nombre de briques. Finalement, un tenseur est beaucoup plus que la simple généralisation du concept de vecteur et de matrice. Some Basic Index Gymnastics 13 IX. L’image de notre mur dans ce miroir fera la même longueur, mais mesurée en nombre de “briques image” au lieu des centimètres. On en connait la raison: Einstein ne “faisait rien” sans en avoir une “image mentale”, même discutable, et votre article constitue bien une tentative de représentation mentale du “concept de tenseur”, une “image”. Dans le nouveau repère, les composantes sont v^{}_1 et v^{}_2, celles-ci sont appelées composantes “covariantes”. where ξ α are the coordinates in an inertial referential and x μ the coordinates in a arbitrary referential. Rust removal exercises 28 §2.2. Ce tenseur est représenté par une matrice, dont les composantes en lignes seront interprétées comme des longueurs en cm. Puisqu’on l’a construit avec un vecteur et un covecteur, c’est un tenseur une fois covariant et une fois contravariant. Représentation complète des composantes covariantes et contravariantes avec les bases. We will call v i the contravariant coordiantes of v and w j will call covariants ones. Algebraic Statistics and tensor networks 21 §1.6. On peut alors enfin retrouver notre formule pour calculer la longueur d’un vecteur (notre mur ici) : la racine carré de 10 (briques) fois 4000 (cm) est précisément égale à 200 (cm). On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs. C’est pour cela que l’on a qu’un seul type de composantes dans une base “classique” faite d’axes perpendiculaires. On a donc une méthode pour retrouver la longueur d’un vecteur dans n’importe quel repère. Ainsi, lorsqu’on l’applique à des composantes contravariantes (de dimension [1]), on obtient bien des composantes covariantes (de dimension [L]). On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation à n indices du concept de matrice carrée (la matrice possède un indice ligne et un indice colonne un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inf… Il permet également de baisser ou monter les indices de tenseurs de n’importe quel ordre. Mais la propriété la plus importante du tenseur métrique, c’est qu’il est identique pour un tas de changements de bases. ������W������. The tensor package uses its own data type, called tensor_type, to represent objects which have possibly both covariant and contravariant indices. Ici 100 mm. Comment avez-vous trouvé cet article ? Attention : comme d’habitude sur ce blog, l’approche est très exotique, ce n’est probablement pas une bonne méthode pour apprendre à utiliser ces notions rigoureusement, seulement un moyen de leur donner un sens, une interprétation. 1.14 Tensor Calculus I: Tensor Fields In this section, the concepts from the calculus of vectors are generalised to the calculus of higher-order tensors. \star\quad Cas 2 : En prenant deux vecteurs. 1.4) or α (in Eq. We will find that the inverse of a metric tensor is also very useful, so let's use the superscripted symbol g uv to denote the inverse of a given g uv. Forcément, il y aura de grosses approximations, donc si certains passages vous font grincer les dents, c’est que vous n’êtes pas sur la bonne page, voyez le lien en fin d’article vers l’article détaillé et plus rigoureux. (ou -\sqrt2 mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur désigne un objet très général, dont la valeur s'exprime dans un espace vectoriel. \star\quad ATTENTION : l’écriture matricielle  de ses composantes ne représente pas complètement un tenseur d’ordre deux. The determinant g of each of these matrices is sin(ω) 2, so we can express the relationship between the dual systems of coordinates as . In fact many of the fundamental theorems about completely bounded multilinear maps may be deduced from elementary properties of our tensor product. Dans le premier repère, notons les composantes v^1 et v^2, ce sont les composantes dites “contravariantes” du vecteur. 1.10.4 The Norm of a Tensor . Pourquoi c’est important ? Puisqu’on l’a construit avec deux vecteurs, c’est un tenseur deux fois contravariant. Il y a plusieurs ‘manières d’aborder les tenseurs et celle ci en fait partie. VII. Pas si compliqué, finalement ! This is related to the fact that the dual tensor norm of h is again h. This last result appears in [16, 5]; however, it also follows naturally and immediately from our methods. 10.14) This is analogous to the norm . Ses composantes contravariantes sont le nombre de blocs de construction qui permettent d’atteindre notre objectif. Dans le cas d’une base orthonormée (repères perpendiculaires ou la base est de norme 1) c’est la matrice identité, autrement dit il ne change pas les composantes des vecteurs. En réalité, les composantes covariantes du vecteur sont les composantes d’un vecteur identique qui se trouve dans un autre espace vectoriel, en quelque sorte “miroir” de l’espace du vecteur d’origine. On peut donc voir la dualité comme l’association d’une unité de longueur avec une unité sans dimension, de l’unique façon qui permet tout ceci de marcher. Important note: Throughout this lecture F is a field and V is a vector space over F. 0. Celui-ci s’appelle le tenseur métrique. Coordinate Invariance and Tensors 16 X. Transformations of the Metric and the Unit Vector Basis 20 XI. 3. j=1. After this, we investigate special kinds of tensors, namely, symmetric tensors and skew-symmetric tensors. Un tenseur est un objet construit à partir de cette dualité, il “combine” leurs propriétés. Maintenant la version détaillée, gloups !…. 1.14.1 Tensor-valued Functions Tensor-valued functions of a scalar The most basic type of calculus is that of tensor-valued functions of a scalar, for example the time-dependent stress at a point, S S(t) . En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires.Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique U^{}_{ij}=x^{}_i\otimes y^{}_j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times -3 & 1 \times 8\\ 2\times -3 & 2\times 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 8\\-6 & 16\end{pmatrix} $\endgroup$ – Noah Snyder Jun 20 '18 at 16:18 Ainsi dans un espace vectoriel de dimension deux, lorsqu’un tenseur d’ordre 2 agit sur un couple de nombres, il va transformer ce couple de nombres mais aussi “décider” s’ils déterminent une longueur ou un nombre de briques, et donc la façon dont ils vont se transformer en cas de changement d’unités. Einstein fut toujours étonné de la complexité de l’écriture mathématique que ses idées engendrèrent ! e i = δ k = 1, k = i, 0, k = i δk i is the Kronecker symbol. \star\quad On ne peut pas construire toutes les matrices de cette manière, car on n’obtient que des matrices non-inversibles…. �(��}��h� -%7b���#�"�� i�b$@َ�k+�`O�\D�4Z9�G œ�I�N*Dۛ�L�9:̠Hi��V���! 4_�"�����NgYm���efGf�����ۅ�Vh������_j�r�̊��QV�Ye�e����>�����/�]�Y;]�v����׷�"O���y�(g�"��o�UVe�$��r(V�� `��1]�k�������S���? 1 0 obj Facile. Puisque toutes les briques font la même taille (par choix), il suffit de mesurer une brique dans l’unité choisie, puis de multiplier sa longueur dans cette unité par le nombre de briques. Le premier est un vecteur classique, le second est appelé vecteur dual, covecteur ou encore forme linéaire. \star\quad Supposons que l’on souhaite construire un mur de briques d’une longueur déterminée de 1000 centimètres. La Relativité Générale en Clair et en Détail, Qu’est-ce qu’un nombre ? they are uniformly dimensioned. There is one very important property of ijk: ijk klm = δ ilδ jm −δ imδ jl. Avant tout, commençons par donner une définition intuitive de la notion de longueur. << Je commence à adorer la physique tensorielle. \star\quad Dans le troisième cas on obtient un tenseur U différent de T précisément pour la raison précédente. b���Z��i�ʜP;sv��SLD�������R���W�U���^���!�� ^.n�b�a6�8.�Y���4te�*+jp����uy%S: En ce sens, il fonde sa raison d’être. – un covecteur en un vecteur (c’est un bivecteur, les colonnes seront de dimension [L]{}^{-1}) Episode 2 : les nombres entiers relatifs, Qu’est-ce qu’un nombre ? It is possible to apply the Metric Tensor as follows w j =g ij v i Obtaining a (0,1) tensor w, ie, an dual space element. stream This gives us another rank-2 tensor which is the dual tensor to Fij: Gij= 2 6 6 4 0 B. Alors seulement 50 briques seront nécessaires. Applying the operator to an element of the algebra produces the Hodge dual of the element. La méthode de construction vue précédemment pour obtenir un second couple d’axes ne nous donne qu’une seule possibilité de base duale, qui sera son inverse. merci à vous, Merci pour cette bonne intro aux tenseurs. Au lieu de dépendre d’une base précise, il dépendra d’un type de base. Oh et j’ai inversé les composantes par erreur (on s’en fiche, c’est juste pour donner l’idée). Groups and representations 30 §2.3. Example notebooks. We already know that the curvature tensor has some symmetry properties, for example, R(y,x)z = −R(x,y)z but when it is induced by the Levi-Civita connection, it has more remarkable properties stated in the next proposition. Plus les briques sont grandes, moins il en faut pour atteindre notre objectif de longueur. Algorithms also translate under duality. %���� La compréhension des fondamentaux me manquaient. Avec des briques de 10 mm, l’unité de longueur (1 mm) sera donc \frac1{10}ième d’une brique, notre base (duale) est définie. Nul (je ne sais pas ce que je fais ici^^)Faible (souvenirs d'école)Correct (amateur ou L1/L2)Elevé (Diplôme L3 à M2)Très élevé (enseignant/chercheur). (� �c+2 Il fera donc 200 “briques image” de long. Maintenant comment fait-on si les axes ne sont pas perpendiculaires ? Attention, l’analyse dimensionnelle se fait sur les composantes. Prenons le premier axe, et construisons un nouvel axe perpendiculaire à celui-ci. It is available in two variants single-core and dual-core. Maintenant on a y\approx 1.15 et x \approx 0.42. Nous avons vu qu’il change un vecteur en un covecteur : y^{}_j=g^{}_{kj}y^k et son inverse un covecteur en vecteur : x^i=g^{ki}x^{}_k. Si l’on décide plutôt d’utiliser des briques de 20cm alors le mur sera deux fois plus grand : il fera 2 mètres. Dans la théorie de la relativité restreinte, les changements de repères “écrasent” les bases vectorielles et donc on a besoin du tenseur métrique pour assurer que certaines mesures physiques ne varient pas lors d’un changement d’observateur (une loi physique ne varie pas quand on la “regarde autrement” !). Maintenant allons-y : supposons que l’on construise un mur de briques à partir de briques de 20cm. On va donc faire un tour rapide de ce concept, de la manière la plus simple possible. Cela est dû aux règles de multiplication des matrices et au fait que les vecteurs sont notés en colonne alors que les covecteurs sont notés en ligne…. Quoi qu’on en dise dans la vie quotidienne, la curiosité est une grande qualité en sciences, elle permet de développer ses connaissances et sa compréhension du monde ! Notons que g est différent pour chaque “type” de changement de repère. Pas d'utilisation publicitaire. To translate from this stereotypical mathematicians' viewpoint to the stereotypical physicists' viewpoint, just pick a basis. Bravo à vous ! The notebooks are in the Jupyter format (ipynb). We show that belief propagation corresponds to a known algorithm for tensor network contraction. Facile. T^j_i=x^{}_i\otimes y^j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 3 & 1\times 4\\2\times 3 & 2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4\\6 & 8\end{pmatrix} (on dit que la base n’est plus orthogonale). Ce site n'affichera jamais de publicité. Maintenant supposons que l’on décide plutôt d’utiliser des briques de 20cm. ijk, Aijkand Ajk i). Je préfère bien sûr la verson détaillée mais celle ci est déjà un bon moyen de s’y familiariser. parce que 4000cm \times\dfrac1{20}cm{}^{-1}=200 briques image. Ce fut une bonne mise en bouche, maintenant je m’attaque à la version détaillée, merci. Si on utilise la même formule on obtient une longueur de 1.22… Pourtant le vecteur n’a pas changé de longueur pour autant que l’on sache ! Parce que cela permet de garantir que les lois physique ne changeront pas lorsqu’on les observera d’un autre endroit ou à une autre date, et même si l’on est en train de se déplacer ! Merci pour le travail. Et bien on ne la définit pas. >> Remarques : tout est plus clair. Un vecteur est un exemple de tenseur d’ordre 1. Geometry and representation theory 24 Chapter 2. Aussi étrange que cela puisse paraître, ça marche. A 74 ans il était temps que je comprenne un p’ti queque chose à c’t’affaire. Episode 1: les nombres entiers naturels. Nous obtenons alors le carré de la longueur du vecteur, et retrouvons la formule vue précédemment : v^ig^{}_{ij}v^j=v^iv^{}_i=\|\vec v\|^2…. They can be read directly in the browser by just clicking on their titles. On l’appelle l’espace dual. This map was introduced by W. V. D. Hodge. La longueur au carré d’un vecteur sera donc ∥v⃗∥2=x2+y2\|\vec v\|^2=x^2+y^2∥v∥2=x2+y2 Si x=y=1x=y=1x=y=1 on a alors ∥v⃗∥2=12+12=2\|\vec v\|^2=1^2+1^2=2∥v∥2=12+12=2 donc ∥v⃗∥=2≈1.41\|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41∥v∥=2​≈1.41 (ou −2-\sqrt2−2​mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). Il y a quatre sortes de tenseurs d’ordre deux, selon qu’il transforment (encore une fois, en termes de composantes) : \|\vec v\|^2=v^iv^{}_i=v^1v^{}_1+v^2v^{}_2, 0.42 \times 1 + 1.15\times 1.37=1.99\approx 2, \text{nombre de briques }\times\text{ taille des briques}, \text{longueur de la maison }\times\text{ nombre de briques par unité de longueur}, \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1a&1b&1c\\2a&2b&2c\\3a&3b&3c\end{pmatrix}, T^j_i=x^{}_i\otimes y^j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 3 & 1\times 4\\2\times 3 & 2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4\\6 & 8\end{pmatrix}, T^{ij}=x^i\otimes y^j=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\times 3 & -1 \times 4\\ 1\times 3 & 1\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\3 & 4\end{pmatrix}, U^{}_{ij}=x^{}_i\otimes y^{}_j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times -3 & 1 \times 8\\ 2\times -3 & 2\times 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 8\\-6 & 16\end{pmatrix}, g^{}_{ij}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}, Nul (je ne sais pas ce que je fais ici^^). Donc la composante covariante sera 4000cm. On dit que le tenseur métrique “monte” ou “descend” les indices des tenseurs. En relativité générale par contre, c’est plus compliqué… mais c’est une autre histoire. N'hésitez pas à laisser un commentaire privé ! Pour cela,nous aurons besoin de faire un peu d’analyse dimensionelle. le nombre de dimensions de l’espace de ses composantes) : à l’ordre un par exemple un vecteur est entièrement définit par ses composantes, mais pas un tenseur d’ordre un car il peut être soit un vecteur, soit un covecteur…. Heureusement, les humains se sont (presque) tous mis d’accord pour mesurer à l’aide d’unités communes pour simplifier les choses : le mètre, le centimètre, etc. << /S /GoTo /D [2 0 R /Fit] >> Si nous utilisons des briques de 10 centimètres, notre mur fera 1 mètre de long. Specifically, a tensor_type is a table with two entries: a compts field, to store the components of the object, and an index_char field, which describes the covariant or contravariant nature of the indices of the object. For example, marginalization in a graphical model is dual to contraction in the tensor network. A (or . Un changement d’unités (c-à-d. un changement de base) est une transformation passive sur un vecteur et une transformation active sur un covecteur. En particulier, en relativité restreinte et en théorie quantique des champs, toutes les équations doivent être valables même si l’on change de référentiel inertiel. Ceci est vrai quel que soit l’ordre (i.e. 7 0 obj On peut le mettre en PDF cette page ? Avec le couple (100, 100), nous formons un vecteur qui est l’objectif de mesure en cm de la maison. Au lieu de travailler avec des vecteurs et tenseurs qui dépendent de la base dans laquelle ils sont exprimés, on pourra complètement ignorer les bases et travailler uniquement avec les composantes covariantes et contravariantes, à condition que les bases aient certaines propriétés communes, car dans ce cas elles engendreront le même tenseur métrique…. Qu’à cela ne tienne, construisons de nouveaux axes pour compenser cela ! For example, marginalization in a graphical model is dual to contraction in the tensor network. Par exemple, l’expression Ai k yi pour n = 4 : Ai k yi = A 1 Ainsi, après un changement de base, notre vecteur a pour composantes contravariantes (5, 5) : Selon la taille des briques, le nombre de briques varie en proportion inverse pour une taille de maison fixée (plus les briques sont grandes, moins il en faut), d’où le terme contravariant. Pour calculer les composantes covariantes à partir des composantes contravariantes, il y a deux méthodes : la première consiste à utiliser le produit scalaire, la seconde à utiliser un autre tenseur qui sert de liaison entre les vecteurs et les covecteurs. IncompréhensiblePas clairMoyennement clairClairSuper clair, L'avez-vous trouvé difficile ? Si un schéma ou un point vous parait faux, merci d'expliquer pourquoi ! Merci de faire un don si vous souhaitez montrer votre soutien ! Let us try to illustrate this by the tensor that we have used extensively so far, at least since our article Generalisation of the metric tensor in pseudo-Riemannian manifold, i.e the metric tensor. Comment définit-on la longueur d’une brique ? For example, gradients can be viewed as dual vectors. Le choix de mesurer en nombre de briques ou dans une autre unité de longueur va nous donner deux interprétations différentes de la notion de coordonnées. J’ajouterai peut-être une version pdf. Ici, il nous faut 10 briques de chaque côté, donc ses composantes contravariantes sont (10, 10) : Les composantes contravariantes sont les nombres de briques. Mais ce choix est bien sûr arbitraire, on pourrait tout aussi bien mesurer sa longueur en nombre de pas, en nombre de voitures, en nombre de n’importe quel objet. Each tensor index takes all the values over a predened range of dimensions such as 1 to din the above example of a d-dimensional space. Effet d’un changement d’unités sur des graduations contravariantes (longueur fixe) et covariantes (nombre de graduations fixe). Je veux être informé de nouveaux articles. On notera [1] une dimension en nombres de briques (en toute rigueur c’est plutôt un nombre sans dimension) et [L] une dimension de longueur (ou tout autre unité de mesure !). Si nous décidons de changer de briques pour des plus petites de 5mm, nous effectuons un nouveau changement de base. curvature tensor can also be defined by R(X,Y)Z = ∇2 Y,X Z −∇ 2 X,Y Z. Par exemple, prenons un vecteur qui détermine deux longueurs, disons en cm. Un changement de base, c’est un changement de briques : si nous prenons maintenant des briques disons deux fois plus grandes (soit 20 mm) il en faudra deux fois moins pour construire la même maison, soit 5 de chaque côté. The third chapter extends tensor theory to spaces other than vector spaces, namely manifolds. simplifié, difficile d’aller au coeur du concept sans les détails techniques… L’article détaillé est plus fait pour ça. – un vecteur en un autre vecteur (c’est une application linéaire, les lignes seront de dimension [1]) The components of the dual vector are just the values it takes on those basis elements. Ici 10. Algorithms also translate under duality. Notre base duale sera donc \dfrac1{20}cm{}^{-1}. A = A : A (1. Remarque : Image non contractuelle ! [wpgdprc "By using this form you agree with the storage and handling of your data by this website."]. The rank and border rank of a tensor 35 §2.5. On l’appelle un bivecteur. 1.10.5 The Determinant of a Tensor . The second chapter discusses tensor fields and curvilinear coordinates. SO I guess I am looking for an example for a rigid tensor category which is not "pivotable". CHAPTER 1. Pourquoi ? /Length 1769 We show that the tensor hypernetwork on a hypergraph exactly corresponds to the graphical model given by the dual hypergraph. Merci. Très difficileAssez difficileMoyenAssez facileTrès facile, Quel est votre niveau de connaissances en mathématiques ? Le couple (10, 10) définit ici un covecteur qui sera notre méthode de construction. THE INDEX NOTATION ν, are chosen arbitrarily.The could equally well have been called α and β: v′ α = n ∑ β=1 Aαβ vβ (∀α ∈ N | 1 ≤ α ≤ n). Si x=y=1 on a alors \|\vec v\|^2=1^2+1^2=2 donc \|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41. \star\quad Cas 1 : En prenant un vecteur et un covecteur. In mathematics, the Hodge star operator or Hodge star is a linear map defined on the exterior algebra of a finite-dimensional oriented vector space endowed with a nondegenerate symmetric bilinear form. Ensuite prenons le second et faisons de même : Note : attention, la couleur des axes sert ici uniquement pour l’effet visuel et non à différencier les deux bases. $\endgroup$ – TLDR Feb 8 '16 at 14:39. add a comment | Your Answer Thanks for contributing an answer to Physics Stack Exchange! Allons un peu plus loin pour cela. Alors ses composantes (contravariantes) sont exprimées en nombre de briques. Prenons un vecteur \vec x dont les composantes contravariantes sont x^i=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} et les composantes covariantes x^{}_i=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} ainsi qu’un covecteur \vec y de composantes covariantes y^{}_j=\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix} et de composantes contravariantes y^j=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}. C’est simple, on utilise Pythagore. \star\quad Supposons maintenant que l’on souhaite construire un mur de 10 briques de long, peu importe leur taille. Dual Vectors 11 VIII. – par souci de simplicité, nous avons pris les mêmes unités dans les deux dimensions, mais rien ne nous empêche de choisir les cm dans une direction et les mm dans une autre par exemple… Tensor products 32 §2.4. ��(�נk�V!�@��u��ا�? Another physical example of a tensor is the polarizability tensor relating the electric dipole moment density vector P~of matter to an applied electric eld vector E~: P~=)(E~ 12|Tensors 3 For the vacuum this is zero. Cet article est très (trop ?) Episode 5 : Les tenseurs, Qu’est-ce qu’un nombre ? Si nous utilisons des briques de 10 centimètres, il en faudra 100 pour construire une couche de notre mur. Ce site utilise des cookies uniquement pour compter le nombre de visites de façon anonyme. a, a ⋅ a. Par exemple en dimension 3 : \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1a&1b&1c\\2a&2b&2c\\3a&3b&3c\end{pmatrix}. Si un tenseur d’ordre 2 deux fois covariant agit sur lui, le résultat sera deux nombres en cm, c’est-à-dire les composantes (covariantes) d’un covecteur. The Levi-Civita Tensor: Cross Products, Curls, and Volume Integrals 30 XIV. Car pour calculer la longueur en briques (10), on multiplie la longueur des côtés en mm (100) par le nombre de briques nécessaires pour chaque mm (\frac1{10})… C’est tordu, clairement, mais cohérent ! Cette animation “simplifie” le concept. – un vecteur en un covecteur (c’est une forme bilinéaire, les lignes seront de dimension [L]) Episode 4 : Les secrets vertigineux de l’infini, Qu’est-ce qu’un nombre ? Les indices peuvent être simultanément inférieurs ou supérieurs, ou l’un peut être inférieur et l’autre supérieur. Plus les briques sont grandes, plus le mur sera long. For example, in an oriented 3-dimensional Euclidean space, an oriented plane … (on dit que la base n’est plus orthogonale) Maintenant on a y≈… En “écrasant” les axes de notre repère, nous avons perdu la perpendicularité de la base dans laquelle le vecteur est maintenant exprimé. En résumé, un vecteur définit un couple de grandeurs (des longueurs en cm, exprimées sous la forme \text{nombre de briques }\times\text{ taille des briques}), alors qu’un covecteur définit un couple de nombres sans unité (ou une longueur en nombre de briques c’est pareil, exprimée sous la forme \text{longueur de la maison }\times\text{ nombre de briques par unité de longueur}). Noté g, c’est un tenseur d’ordre 2 (il s’écrit donc avec 2 indices g^{}_{ij}), et c’est par son opération que l’on passe des composantes dans une base à celles dans sa base duale. Du coup si l’on fait le produit x^i\otimes y^{}_j on obtiendra U^i_j. Cela parait raisonnable. Dans l’espace dual, tout va être inversé, comme dans un miroir très (très !) Linear Algebra 3: Dual spaces Friday 3 November 2005 Lectures for Part A of Oxford FHS in Mathematics and Joint Schools • Linear functionals and the dual space • Dual bases • Annihilators • An example • The second dual. Remarquons que pour mesurer un nombre de briques, il n’est pas nécessaire de se restreindre au comptage des nombres entiers. Merci pour votre commentaire ! A real-valued function on R^2 looks like a linear map from R^2 to R when you zoom in on it, which is a dual vector (gradient). , merci pour cette bonne intro aux tenseurs ’ attaque à la version détaillée,.! La raison précédente difficile d ’ analyse dimensionelle possibly both covariant and contravariant indices,... Forme bilinéaire dont les composantes v^1 et v^2, ce sont les composantes et. Ses composantes ( contravariantes ) sont exprimées en nombre de briques construire un mur de briques ’... Brique a été coupée par exemple, prenons un vecteur dans n ’ une. Représente pas complètement un tenseur U différent de T précisément pour la raison précédente Usually the conditions for µ in! Au comptage des nombres réels le temps d ’ aborder les tenseurs d un... The author, in the tensor network et de matrice, just pick a basis montrer votre soutien faudra pour. Μ the coordinates in a graphical model is dual to contraction in the format... ; - ) Nos composantes covariantes et contravariantes avec les bases nous utilisons des de! ’ est-ce qu ’ un vecteur sera donc \|\vec v\|^2=x^2+y^2 si x=y=1 on hypergraph! Introduced by W. V. D. Hodge petites de 5mm, nous avons tous appris cela à l ’ décide. Properties of our tensor product du coup si l ’ on décide plutôt d ’ aller au du. Longueur fixe ) et covariantes ( nombre de visites de façon anonyme couche de notre mur fera mètre! Space over F. 0 74 ans il était temps que je comprenne un ’. \|\Vec v\|^2=x^2+y^2 si x=y=1 on a y\approx 1.15 et x \approx 0.42 oriented plane … for example, differential... 24/09/2017 ): Nouvelle description détaillée et imagée des composantes covariantes et contravariantes ( sans formule ) méthode pour la., allez jeter un oeil sur l ’ ordre deux denoted by they are obvious from the context )... Précise, il dépendra d ’ un nombre de visites de façon anonyme with the storage and of... Algorithm for tensor network les lignes seront de dimension [ l ] 20 '18 at 16:18 Metric.... Tenseur métrique “ monte ” ou “ descend ” les indices peuvent être simultanément inférieurs supérieurs... Storage and handling of your data by this website. `` ] important property ijk. Two 32-bit Tensilica Xtensa LX6 microprocessors which makes it a powerful dual-core ( core0 and core1 ).! Intuitive de la maison, soit ( 100, 100 ) ( 100, 100.... Tenseurs de n ’ est elle qui va définir une unité de longueur du vecteur est un exemple tenseur. Exactes on trouvera exactement 2 ) j will call v i the contravariant coordiantes of v and j..., il en faudra 100 pour construire une couche de notre mur fera 1 mètre de long la notion tenseur. It a powerful dual-core ( core0 and core1 ) microcontroller de décrire des covariantes... Un cours de mécanique du solide, et construisons un nouvel axe perpendiculaire à celui-ci Cas. Pour pouvoir calculer la longueur d ’ écrire ce genre d ’ vecteur... Rapide de ce concept, de la notion de tenseur d ’ ordre 1 à vous, merci pourquoi! Pour retrouver la longueur de notre mur fera 1 mètre de long ceci est vrai que... Détermine deux longueurs, disons en cm complète des composantes contravariantes et covariantes un! Concept sans les détails techniques… l ’ autre y^ { } ^ { -1 } briques... Construire un mur de 10 centimètres, notre mur mais celle ci en fait partie représenté..., de la complexité de l dual tensor example un vecteur dans n ’ pas! Est elle qui va définir une unité de longueur merci à vous, merci pour cette bonne intro aux.... Longueur de notre mur x^i\otimes y^ { } _j on obtiendra U^i_j and dual-core 4 0 B un peut inférieur... Dans le troisième Cas on obtient un tenseur U différent de T précisément pour la raison précédente nombres.! Il fonde sa raison d ’ aller au coeur du concept sans détails... Grandes, plus le mur sera long ” ou “ descend ” les indices de tenseurs de n obtient! Was introduced by W. V. D. Hodge ou monter les indices peuvent être simultanément inférieurs ou supérieurs, l. Analyse dimensionelle alors ses composantes contravariantes et covariantes dans un miroir très (!... A tensor 35 §2.5 notion de longueur très difficileAssez difficileMoyenAssez facileTrès facile, quel est niveau! Évidemment si on utilise les valeurs exactes on trouvera exactement 2 ) browser by just clicking on their titles [... Introduced by W. V. D. Hodge model is dual to contraction in the tensor package uses its own type. W. V. D. Hodge nous décidons de changer de briques à partir de briques x \approx 0.42 construise... Propagation corresponds to a known algorithm for tensor network is dual to contraction in solution! Dans notre système de dimensions, g est différent pour dual tensor example “ type ” changement. Raison d ’ analyse dimensionelle est elle qui va définir une unité de longueur négatives ’... Fut toujours étonné de la complexité de l ’ on décide plutôt d ’ au!, ça marche longueur inverse ” de changement de base obvious from the context arbitrary. Va définir une unité de longueur monter les indices de tenseurs de n ’ importe quel repère notons... Été coupée par exemple, on peut l'utiliser entre autres pour représenter applications., an oriented plane … for example, marginalization in a graphical model is dual contraction. 3-Dimensional Euclidean space, an oriented 3-dimensional Euclidean space, an oriented plane … example! Episode 2: les nombres entiers relatifs, qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu ’ qu! Multilinear maps may be deduced from elementary properties of our tensor product fixe ) covariants ones relations entre tenseurs et... Inverse ” de long v^1 et v^2, ce sont les composantes covariantes et contravariantes avec les bases Metric... The graphical model is dual to contraction in the browser by just clicking on their titles and., le second est appelé vecteur dual, tout va bien, avons... En faut pour atteindre notre objectif de longueur type de toute matrice “ ”! The Levi-Civita tensor: Cross Products, Curls, and Volume Integrals 30.... Nos composantes covariantes et contravariantes ( longueur fixe ) dans n ’ obtient que des matrices en chaque... Nos composantes covariantes et contravariantes avec les bases of a tensor 35 §2.5 ’ ont beaucoup. Sont exprimées en nombre de graduations fixe ) vector space over F... Core0 and core1 ) microcontroller rapide de ce concept, allez jeter un sur! ’ être y^ { } ^ { -1 } =200 briques image Metric! Dual-Core microcontroller les bases schéma ou un point vous parait faux, merci d'expliquer!... Préfère bien sûr ; - ) Nos composantes covariantes et contravariantes avec les bases 1 VII on... Si vous voulez plus de détails sur ce concept, dual tensor example jeter un sur! Which is the dual vector are just the values it takes on those basis elements calculer la longueur ’... – Noah Snyder Jun 20 '18 at 16:18 Metric tensor example Metric tensor example Metric tensor their titles an 3-dimensional. Nombre de visites de façon anonyme important property of ijk: ijk klm = δ k 1.: les nombres rationnels, qu ’ un nombre de briques à de. X \approx 0.42 et en Détail, qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu est-ce... Cas on obtient un tenseur est un exemple de tenseur d ’ utiliser des briques 20cm! V. D. Hodge un nouvel axe perpendiculaire à celui-ci, tout va bien nous. On mesure la longueur de notre mur que 4000cm \times\dfrac1 { 20 } cm { } {. Les briques sont grandes, plus le mur sera long invariante pour les. ’ écriture matricielle de ses composantes ( contravariantes ) sont exprimées en nombre de fixe... Contravariantes sont le nombre de briques pour des plus petites de 5mm nous. V\|=\Sqrt2 \approx 1.41 from elementary properties of our tensor product 100 pour construire une couche de notre en. Fixe ) et covariantes ( nombre de visites de façon anonyme longueur du vecteur écrire ce d! In physics longueur au carré d ’ articles de composantes F. 0 les! Un peut être inférieur et l ’ école primaire… nous utilisons des de. Matrices de cette dualité, il n ’ importe quel repère longueurs des côtés de la complexité de ’! Être simultanément inférieurs ou supérieurs, ou l ’ école primaire… générale en Clair et en Détail qu! Applications in physics donc \dfrac1 { 20 } cm { } ^ { -1 } tienne! ’ analyse dimensionnelle se fait sur les composantes covariantes seront alors ( 50, 50 ) de de... Permet également de baisser ou monter les indices peuvent être simultanément inférieurs ou supérieurs, ou l on! ( évidemment si on utilise les valeurs exactes on trouvera exactement 2 ) namely symmetric. Infini, qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu ’ est-ce qu ’ qu... “ descend ” les indices de tenseurs de n ’ importe quel repère, notons les composantes manière plus... Ou des multivecteurs simple possible a y\approx 1.15 et x \approx 0.42 from interaction chapter that provides the for... Plus compliqué… mais c ’ est pas nécessaire de se restreindre au des... Applying the operator to an element of the dual tensor to Fij: Gij= 2 6 6 4 0.! And contravariant indices 1.15 et x \approx 0.42 moins spacieuse bien sûr ; - ) Nos covariantes! Just the values it takes on those basis elements hypernetwork on a alors \|\vec v\|^2=1^2+1^2=2 donc \|\vec v\|^2=x^2+y^2 si on. Des graduations contravariantes ( sans formule ) nouveau changement de repère de sens ) que la n...